返回目錄頁
物理學的世界
什麼是物理?
科學方法
測量與實驗
有效位數
物理中的數學方法
向量
物理學中的微積分
常用的微分與積分公式
直線與平面運動
速度與速率
加速度
位移、速度、加速度
自由落體
相對運動
拋物線運動
力與運動
慣性定律
力與加速度
作用力與反作用力
力圖
摩擦力
虎克定律
靜力平衡
功與能量
作功
能量與守恆
動能
重力位能
彈力位能
功率
動量與碰撞
動量是什麼?
動量守恆
彈性與非彈性碰撞
轉動
從角位置到角加速度
轉動慣量與轉動動能
常見的轉動慣量
平行軸定理
力矩
角動量守恆
滾動
轉動與平移運動公式
圓周運動與星體運動
等速率圓周運動
萬有引力定律
衛星運動
克普勒第一定律
克普勒第二定律
克普勒第三定律
簡單機械原理
斜面原理
槓桿原理
齒輪與履帶
定與動滑輪
簡諧運動
彈簧的簡諧運動
單擺的簡諧運動
波、聲音、光
什麼是波?
波的種類
波速、頻率、波長
聲波
共振與回聲
流體力學
液體的特性
液體壓力
浮力
流體的動力分析
表面張力
熱力學
溫度與熱
熱、比熱、溫度
物質的三相
溫度的轉移與平衡
作功與溫度
熱力學第一定律 準靜態過程
光的基本介紹
電磁波與光
反射作用
光與顏色
凹面鏡與凸面鏡
折射作用
凹透鏡與凸透鏡
成像公式
折射與反射的生活應用
電荷與起電
導體、絕緣體、半導體
靜電力
電場與電力線
導體的靜電平衡
平行板電場
電位差與電能
電容
電流與電阻
電的生活應用
電路與電路元件
串聯、並聯、等效電阻
電功與生活用電
神奇的光
薄膜干涉
單狹縫干涉
雙狹縫干涉




滾動中的物體


前面的幾個章節裡,我們探討了轉動中的物體,並且計算了轉動慣量轉動動能。在這個章節裡,我們將要分析一個比較有趣、特殊,卻在生活中常常遇見的情形—滾動。


滾動 = 轉動 + 平移


在尚未學習轉動動能之前,假設你想要計算一顆輪胎在地上滾動時所具有的動能,你可能會以其質心速度與 $\frac{1}{2}mv^2$ 的公式計算它的平移動能;在學習了轉動動能後,你可能會想要以其質心的角速度與 $\frac{1}{2}I\omega^2$ 的公式計算它的轉動動能。那麼究竟哪一個才是對的呢?其實,這兩種算法都只對了一半。

就以上面的例子來看,一顆滾動中的輪胎,可以被想像成一個正在平移的質點,因此其具有平移動能;它也可以被看成一個繞著中心轉動的物體,因此其具有轉動動能。也就是說,在計算它的滾動動能時,我們要計算的不是 $\frac{1}{2}mv^2$,也不是 $\frac{1}{2}I\omega^2$,而是兩者相加後的結果。

於是我們知道,在分析一個滾動中的物體時,可以將其運動拆解為純平移和純轉動,如下圖所示:


值得注意的一點是,滾動中的輪胎與地面接觸的那一點,速度是 0;輪胎中心速度等於其質心速度,而輪胎頂部的速度等於兩倍的質心速度。


滾動動能


如同上面所說的,我們可以將物體的滾動拆解成純平移和純轉動。因此在計算物體滾動時所具有的動能時,我們可以將其平移動能與轉動動能相加。其中,$I$ 是物體質心的轉動慣量,$\omega$ 是物體的角速度,$m$ 是物體的質量,$v$ 是物體的質心速度:

$$E_k = E_v+E_\omega$$$$=\frac{1}{2}I\omega^2+\frac{1}{2}mv^2$$


接觸點的摩擦力


如果一顆輪胎在地上等速度滾動,則其除了輪胎上各點本身的向心加速度外,並沒有任何的加速度。在這樣的情況下,輪胎與地面間不存在任何摩擦力。的確,在等速度的情況下,加速度 $a$ 等於 0,則根據牛頓第二定律,受力 $F = ma$ 也會等於 0。

然而,如果輪胎開始加速或減速,就代表摩擦力不再是 0 了。讓我們想像一顆靜止的輪胎,此時,某些原因使其開始向前轉動。倘若其與地面間沒有摩擦力,則輪胎只會在原地旋轉,而不會向前滾動。

但是因為接觸面兼具有摩擦力,使得輪胎與地面間沒有滑動的狀況出現,才讓輪胎有向前滾動的趨勢,如同圖中所示:

加速滾動中的物體與地面間的摩擦力 | 靜摩擦係數 | 物理


沿著斜面滾動


在探討完水平面上的滾動後,是時候來討論滾下斜面的物體了。讓我們假設一顆半徑 $R$ 、質量 $M$ 的輪胎滾下一個角度 $\theta$ 的斜坡。此時,輪胎只受了三個力:重力 $Mg$、斜坡的正向力 $N$、斜坡的靜摩擦力 $f_s$。如圖所示:

滾下斜坡的物體 | 靜摩擦力與滾動 | 物理

我們將往斜坡上方的方向定為正,因此,輪子滾下斜坡時的加速度 $a_{cm}$ 應該為負。接著,因為正向力已經把重力垂直於斜面的分力抵銷掉了,因此在分析力時,我們只需要關注平行於斜面的力。如此,我們便能寫出力與加速度間的關係式:

$$Ma_{cm} = f_s - Mg\cdot sin(\theta)$$

接著,我們將目光放到輪胎與斜面的接觸點上。摩擦力在這點上對輪胎的中心作用了一個力矩,這個力矩使得輪胎沿著自己中心旋轉。接著,因為力矩等於垂直的力臂(此處即為半徑)乘以力,我們能寫下:

$$Rf_s = I_{cm}\alpha$$

其中,$\alpha$ 即為輪胎繞著中心旋轉的角加速度。現在,我們有列出了兩個方程式,要想辦法將兩者間建立起關係。此處,我們得要回想一下,輪胎滾動時的切線加速度等於半徑乘上角加速度($a = r\alpha$),將其代入得:

$$Rf_s = I_{cm}\frac{-a}{R}$$

注意,我們將逆時針旋轉時的角加速度定為正,然而輪胎的加速度為負,因此上述式子中,$a = -R\alpha$。再經過一次移項,便能求出摩擦力 $f_s$:

$$f_s = I_{cm}\frac{-a}{R^2}$$

接著,我們將 $f_s$ 代入第一個方程式:

$$Ma_{cm} = I_{cm}\frac{-a_{cm}}{R^2} - Mg\cdot sin(\theta)$$

移項後提出 $a_{cm}$:

$$a_{cm}(M+\frac{I_{cm}}{R^2}) = -Mg\cdot sin(\theta)$$

再經過一次移項,便能得到輪胎滾下斜坡的加速度:

$$a_{cm} = \frac{-Mg\cdot sin(\theta)}{M + I_{cm}/R^2}$$$$=\frac{-g\cdot sin(\theta)}{1+I_{cm}/(MR^2)}$$
上一章節
下一章節
使用者分享的影片來自 YouTube。瞭解更多
+1 
感謝內容貢獻者 此篇文章由 1 位使用者共同編輯而成,並且由學呀的編輯團隊負責維護。點此查看編輯者名單。