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表面張力


相信大家應該都對表面張力(surface tension)這個名詞不熟悉,無論是毛細現象或甚至桌上的水珠,都是表面張力所造成的,以下將會介紹表面張力的意義與數學算式。


狹義定義


表面張力的狹義定義是液體試圖獲得最小的表面位能。也就是說,表面張力$\gamma$的單位為$\frac{J}{m^2}$,而表面張力乘上表面積$A$即為液體的表面位能。$$U = \gamma A$$而物體都會傾向於儲存最少的位能。


廣義定義


表面張力的廣義定義為所有兩種不同物質狀態的交界處所產生的張力。這邊要注意的是,表面張力實際上不是力,而是單位長度所受的力,因此單位為$\frac{N}{m}$(此單位與狹義定義所敘述的單位一樣)。因此,我們可以得知表面張力$\gamma$乘上不同物質狀態的交界面長度$l$即為表面張力所產生的力。$$F=\gamma l$$而表面張力所產生的力的方向會與表面相切。


範例 1


下圖為毛細現象所產生的現象。

註: $\gamma$為表面張力係數、$\theta$為液體與管壁的夾角、$\rho$為液體密度、$r$為管徑、$h$為液體突出表面高度。

根據表面張力的廣義定義,我們可以得知在某微小長度的物態交界處,表面張力所產生的力$F$的方向會如圖所示,而每一個物態交界處都會有這樣的表面張力,但由於總共繞了一圈,因此相隔半圈的兩個作用力的水平分量將會相消,僅剩下鉛值分量。因此表面張力產生的力總共會對液體造成向上的作用力,且量值為$$2\pi r \gamma \cos \theta$$

而被抬起的液體所受重力為$mg$,且質量等於體積乘以密度,即為$$mg=\rho \pi r^2 h g$$

由於該液體已達到靜力平衡,因此合力應等於零,也就是向上與向下的力量值會相等,即為$$2\pi r\gamma \cos \theta=\rho \pi r^2 h g$$化簡後可得$$2 \gamma \cos \theta = \rho g h r$$


範例 2


下圖為泡泡在空氣中所受的表面張力

註: $\gamma$為表面張力係數、$r$為泡泡半經、$P$為泡泡內部壓力、$P_0$為大氣壓力、兩線夾腳為$d \theta$

考慮泡泡薄膜表面的一小段長度$r d \theta$,下圖為側視圖,實際上這是一小塊薄膜面,並從側邊看泡泡表面的一個小面,由於泡泡表面呈現力平衡,故向外所施予的力等於向內所施的力

由於表面張力的$\bar{x},\bar{z}$方向分量會互相抵銷,故只要考慮其
\{bar}y

因為 ${d\theta\over 2} \approx 1 $,故$$\sin({d\theta\over 2})\approx {d\theta\over 2}$$將上式簡化$$F_{{\gamma}\bar{y}}=8 \gamma rd{\theta\over2}\sin({d\theta\over2})=2\gamma r (d\theta)^2$$

向內的合力為表面張力水平方向及外側大氣壓乘以表面積

$$\begin{aligned}F_{in} & = F_{\gamma} y+P_{0} A \\ & = F_{\gamma}y+P_{0} A \end{aligned}$$

向外的合力等於內側壓力乘以表面積$$ F_{out}=P A= P (rd\theta)^2$$
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