行星週期定律

在克普勒提出的諸多關於天體運行的理論當中，有一個重要的定律，被稱為克普勒行星運動第三定律，又或是週期定律。這項定律大概是這樣的：「繞行同一星體運行的星體，運行週期的平方與軌道半徑的立方成正比。」如果寫成數學式子，大概是：

$T^2 \propto r^3$

$\Rightarrow \frac{T_1^2}{r_1^3} = \frac{T_2^2}{r_2^3}$

這個公式不僅可以用在繞行相同恆星的不同行星，也可以用在繞行相同行星的不同衛星。但是要特別注意，必須是繞行相同的星體運動，這個公式才會成立！

以圓周運動證明週期公式

我們都知道，星體以橢圓形的軌道繞行另一星體運動，然而這個橢圓是相當趨近於圓形的，在此就姑且將它當作圓形好了！那麼既然天體軌道假設成了圓形，利用克普勒第二定律（等面積定律），我們就能知道天體公轉一事其實可以被看成是一個等速率圓周運動。

我們回想一下之前等速率圓周運動中，向心力的公式：

$F=m\frac{v^2}{r}$

接著，因為是等速率圓周運動，我們可以把速率 $v$ 當作是「圓周長」除以繞行一圈的週期 $T$：

$v = \frac{2 \pi r}{T}$

將上述的 $v$ 帶入第一個式子，我們便能得到：

$F = m \frac{4 \pi ^2 r}{T^2}$

再來，我們思考一下星體公轉的向心力來源是什麼？沒錯，就是萬有引力！這裡，我們來回想一下萬有引力的公式：

$F = \frac{GMm}{r^2}$

因為兩個 $F$ 是相同的（此處的萬有引力等於向心力），因此我們可以得到下列的等式：

$\frac{GMm}{r^2} = m \frac{4 \pi ^2 r}{T^2}$

等號兩側做等量乘除法得：

$T^2 = (\frac{4\pi ^2}{GM})r^3$

這就是我們所要的答案啦！看一看這個式子我們可以發現，一開始假設的行星質量小寫 $m$ 在等量公理的過程中被消去了，所以我們能知道，行星的週期只跟公轉中心天體的質量以及軌道半徑有關。因此，只要對著同一中心公轉的天體，$T^2$ 與 $r^3$ 間的比值都會相同。