位移、速度、加速度

在瞭解位移、速度、加速度三者的定義之後，是時候我們可以深入一點探究這三個物理量背後的關係了。我們將使用 微積分 來探討這些東西背後的意義。

函數的切線斜率

在開始研究物理之前，讓我們先複習一下微分的基本定義。我們以 $y=f(x)=x^2$ 的圖形來舉例：

其中，每一點都有各自的切線斜率。例如，在 $x=2$ 時，切線斜率為 $2$ ；在 $x=3$ 時，切線斜率為 $6$ 。如果現在我們要把 $f(x)$ 在各個點上的斜率寫作一個函數 $f\prime (x)$ ，我們可以將 $f(x)$ 進行微分：

$f\prime (x) = \frac{d}{dx} [f(x)]$

$= \frac{d}{dx} [x^2] = 2x$

於是我們便能知道，若要求 $y = x^2$ 圖形上任意一點的斜率，只需要將該點的 $x$ 座標帶入 $f^\prime (x) = 2x$ 這個函數就可以了。

回想一下速度與位移的基本定義，並且回想一下 X-t 圖與 v-t 圖。其實速度就是 X-t 圖上點跟點之間的斜率罷了！若今天求的是瞬時速率，那就是 X-t 圖上某一點的切線斜率。接著，讓我們將 X-t 圖上，X 與 t 的關係寫成函數。

假設有一個函數 $X(t)$ ，只要將時間 $t$ 代入該函數即可求得該時間的位置，此時，另一個函數 $v(t)$ ，將時間 $t$ 代入籍可求得該時間的速度，那麼我們就可以說： $v(t)$ 是 $X(t)$ 的微分。

現在假設 $X(t) = x^2$ ，也就是說，當 $t = 2$ 時，位置的座標在 $4$ ，在 $t = 3$ 時，位置座標在 $9$ 。那我們要怎麼求得 $t = 2$ 和 $t = 3 時的瞬時速度呢？別忘了，速度是位移對時間的微分，因此我們可以得到：

$v(t) = \frac{d}{dt} [X(t)]$

$= \frac{d}{dt} [t^2] = 2t$

現在我們知道了 $v(t) = 2t$ 了，我們就可以知道 $t = 2$ 時速度是 $4$ ， $t = 3$ 時速度是 $6$ 。

讓我們再回想一下 v-t 圖與 a-t 圖，是不是加速度就是速度的斜率呢？仔細想想，斜率就是某單位內的變化，而加速度正是速度的變化量，引此我們可以篤定地說，加速度是速度的斜率；或者說，加速度是速度對時間的微分。

我們回想剛剛求得的 $v(t) = 2t$ ，如上圖所示。現在，我們要對速度微分，得到一個加速度對時間的函數：

$a(t) = \frac{d}{dt} [v(t)]$

$=\frac{d}{dt} [2t] = 2$

我們得到了一個函數 $a(t) = 2$ ，可以知道，再任意時間點，該物的加速度都會是 $2$ 。

至此，我們知道了速度是位移對時間的微分，而加速度是速度對時間的微分。換句話說，加速度即是位移對時間的二階微分。用 $f(x)$ 與 $f^\prime (x)$ 的寫法可以寫作：

$v(t) = X^\prime (t)$

$a(t) = v^\prime (t) = X^{\prime\prime} (t)$

若寫作積分的形式，我們可以得到：

$X(t) = \int v(t) dt$

$v(t) = \int a(t) dt$

如果把位移、速度、加速度三個函數畫到同一張圖上，我們便可以得到這樣的圖形。仔細觀察的話可以發現，若今天位移是二次函數，速度便會是一次函數，而加速度即為零次函數（常數函數），這也符合了我們對微積分的認知。