平行軸定理

在上一個章節我們已經提到如何利用積分求得剛體的轉動慣量。然而，若我們已經知道某物體通過其質心的平行軸之轉動慣量，我們就可以利用平行軸定理，更快的求得該物體繞其他轉軸的轉動慣量。

公式與推導

首先，讓我們假設一個不規則，質量為$m$的物體，其質心位置在原點，且接下來的轉軸皆平行於$z$軸。根據定義，我們可以得知該不規則物體過原點轉動軸的轉動慣量為

$I_{C.M.}=\int r^2 dm = \int (\sqrt{x^2+y^2})^2 dm$

注意到這裡的積分仍為定積分，然而由於是不規則物體，因此省略上下限的表達。(上下限實際為其邊界。) 接著，我們的目標是要求得該物體過$P$點，座標為$(a, b)$轉動軸的轉動慣量。根據定義，轉動慣量仍可寫為

$I_P=\int r^2 dm$

然而，這裡的$r$代表的是各個質量元素$dm$相對於$P$點轉軸的距離，因此要寫為

$I_P=\int r^2 dm=\int (\sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2})^2 dm$

展開後可得到

$I_P=\int (x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2) dm$

接著再整理為

$I_P=\int (x^2+y^2)dm -2(\int ax dm +\int by dm)+\int (a^2+b^2) dm$

我們分析一下上述算式，可以輕易地發現第一項就是過質心的轉動慣量，也就是$I_{C.M.}$。接著，中間兩項較不明顯，但我們可以回憶一下質心的公式為

$(x_{C.M.},y_{C.M.})=(\frac{\Sigma m_i x_i}{\Sigma m_i}, \frac{\Sigma m_i y_i}{\Sigma m_i})$

比對質心公式與中間兩項，可以發現只差一個質量與長度的倍數!而在我們定義的這個座標系統當中，質心的位置為$(0,0)$，因此，中間兩項均為$0$。最後一項也十分容易：由於$(a^2+b^2)$為定值，因此可以提出積分式外，可以寫為

$\int (a^2+b^2) dm=(a^2+b^2) \int dm=h^2 \cdot m$

上面算式出現的$h$定義為新轉軸與過質心轉軸的距離，即為

$h=\sqrt{a^2+b^2}$

而單純對質量元素$dm$的積分就會是總質量$m$。總結而言，將整理後的算式分別改寫，最終可得

$I_P=I_{C.M.}+mh^2$

這就是平行軸定理的公式。這邊要注意的是平行軸定理一定只能從質心向其他軸做相加，若不是質心則上述推導過程當中的中間二項就不會是零，因此公式就不會成立。

範例

讓我們回想在轉動慣量的章節，所求質量$m$，長度$l$細棒過其質心的轉動慣量，結果為

$I_{C.M.}=\frac{1}{12}ml^2$

若現在我們要求過細棒端點的轉動慣量，就可以利用平行軸定理輕易地解決該問題。我們知道過其端點的轉動軸與過質心的轉動軸的距離就是半根細棒的長度，也就是

$h=\frac{l}{2}$

因此，將上述條件帶入平行軸定理的公式，即可得

$I=I_{C.M.}+mh^2=\frac{1}{12}ml^2+m(\frac{l}{2})^2=\frac{1}{3}ml^2$

輕鬆完成。大家也可以利用積分算算看，結果必定會一樣!