自由落體
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自由落體運動

當一顆球從 30 公尺高的大樓樓頂掉落時,若撇除空氣的阻力因素,會需要多少的時間才會撞擊地板呢?想要回答這個問題,我們必須先思考一件事情:這顆球在掉落的過程中,進行了什麼樣子的運動呢?沒錯,這顆球進行了自由落體運動。在這個章節中,我們將探討物體在進行自由落體時的運動模式。

質量與重力加速度

我們首先來討論一件事情:物體在掉落的過程中,加速度會不會改變?想要知道這件事情,我們可以使用牛頓第二定律的 F=maF = m \cdot a,以及牛頓的萬有引力定律來推導。在計算物體 1 和物體 2 之間的萬有引力時,引力 FgF_g

Fg=GM1M2r2F_g = \frac{GM_1M_2}{r^2}

其中,GG為萬有引力常數,M1M_1 代表物體 1 的質量,M2M_2 代表物體 2 的質量,而 rr 則是兩物體之間的距離。現在我們所討論的是自由落體,因此我們將物體 1 假設為地球,物體 2 假設為正在掉落的物體。

我們知道,地球的質量並不會改變,因此,我們可以得知在下列式子中,並且將式子中的常數部分整理成係數 CC

Fg=CM2r2F_g = C\frac{M_2}{r^2}

而現在,我們來討論一下 rr 的值。rr 為兩物體間的距離,根據球殼定理我們可以知道,rr 會等於物體與地心間的距離。又因為物體位於地球表面附近,rr 值維持在 6,371,000 公尺左右(地球半徑)。因此 rr 也可以視為一個常數。將這件事情與剛剛的式子結合,我們得到:

Fg=CM2r2F_g = C\frac{M_2}{r^2}

=kM2= k\cdot M_2

接著,因為自由落體時,物體所受的力只有萬有引力,因此我們可以將物體掉落的過程以及受力情形以 F=maF=ma 和萬有引力定律來表示:

Fg=M2a=GM1M2r2F_g = M_2a = \frac{GM_1M_2}{r^2}

將已知的常數提出,結合成剛剛的常數 kk

Fg=M2a=M2kF_g = M_2a = M_2k

其中,aa 即是物體掉落時的加速度,而 kk 則是一個常數。我們可以由此推知,物體在地表附近行自由落體運動時,會以固定的加速度掉落。這個掉落的加速度,就稱為重力加速度,代號 gg

g=GMearthrearth2g = \frac{GM_{earth}}{r_{earth}^2}

=9.81m/s2= 9.81m/s^2

因為我們已經知道掉落物體的加速度都相同,等於 gg,因此我們可以知道,不論掉落物體的質量為何,只要掉落物體的質量遠遠小於地球質量,那麼掉落的加速度就不會受到影響。

自由落體運動

既然我們已經知道物體在地表附近行自由落體運動時,其加速度固定不變,那麼我們就可以知道,自由落體運動不就是一個等加速度運動而已。這種等加速度運動初速為 0,而加速度等於重力加速度 gg

加速度的定義是:每秒變化了多少。既然今天我們的初速度是 0,這「每秒變化了多少」乘上「經過了幾秒」,就可以讓我們得到任一時間點的物體速度。因此,假設我們要計算第 5 秒末時,物體的速度,就好像在計算「每秒速度增加 9.81 m/s,問 5 秒後速度為何?」一樣簡單。

由此我們可以得到:

v=gt=9.81tv = gt = 9.81 t

當然,我們也可以使用比較數學的方式來推導這個式子。利用加速度與速度間的微積分關係,可以得到:

v=g(dt)=gtv = \int g (dt) = gt

是不是得到了相同的答案了呢?除了速度之外,我們也能知道物體的位移,也就是物體總共掉落的距離。我們可以使用 V-t 圖中圖形下的面積來計算總位移,使用三角形的面積公式,我們可得:

h=12gt2h = \frac{1}{2}gt^2

當然,我們也可以使用數學來證明之。我們使用了速度與位移間的微積分關係,便能得到:

h=v(dt)h = \int v(dt)

=(gt)(dt)= \int (gt)(dt)

=12gt2= \frac{1}{2}gt^2

例題

讓我們回到章節一開始的問題:當一顆球從 30 公尺的高處掉落,試問要在多久之後才能撞擊地面?

這個問題其實一點都不困難。既然我們已經知道 h=12gt2h = \frac{1}{2}gt^2,那麼我們就可以將數字代入,求得時間 tt

30=129.81t230 = \frac{1}{2}\cdot 9.81t^2

t=3029.81t=\sqrt{\frac{30\cdot 2}{9.81}}

=2.47(s)=2.47 (s)

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