三角函數的定義


三角函數,是人們用來表示三角形邊長與邊長之間關係的函數。當我們觀察一個直角三角形時,我們可以將各個函數定義作如下:$$ sin(\theta) = \frac{對邊}{斜邊} ,cos(\theta) = \frac{臨邊}{斜邊} $$$$ csc(\theta) = \frac{斜邊}{對邊} ,sec(\theta) = \frac{斜邊}{臨邊} $$$$ tan(\theta) = \frac{對邊}{臨邊} ,cot(\theta) = \frac{臨邊}{對邊} $$

利用這些定義,我們可以衍伸出一些式子,表達不同三角函數間的關係:$$ tan(\theta) = \frac{sin(\theta)}{cos(\theta)},cot(\theta) = \frac{cos(\theta)}{sin(\theta)} $$$$ sec(\theta) = \frac{1}{cos(\theta)},csc(\theta) = \frac{1}{sin(\theta)} $$

單位圓 三角函數 sin cos tan

在單位圓中,我們可以將這些函數所對應的值在圖形上表示出來,也就是: $$ sin(\theta) = y,cos(\theta) = x $$$$ tan(\theta) = 半徑 r 的斜率 $$


衍伸的公式


將 $ cos $ 與 $ sin $ 的定義進行整理,我們可以得到:$$ sin^2 \theta + cos^2\theta = 1 $$ $$  \Rightarrow sin^2\theta = (1+cos\theta)(1-cos\theta) $$$$  \Rightarrow cos^2\theta = (1+sin\theta)(1-sin\theta) $$

接著一樣很重要的是角度加減的公式:$$ sin(\alpha+\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta +cos\alpha \cdot sin\beta $$$$ sin(\alpha-\beta) = sin\alpha \cdot cos\beta -cos\alpha \cdot sin\beta $$$$ cos(\alpha+\beta) = cos\alpha \cdot cos\beta -sin\alpha \cdot sin\beta $$$$ cos(\alpha-\beta) = cos\alpha \cdot cos\beta +sin\alpha \cdot sin\beta $$

藉由 $ sin $ 與 $ cos $ 的加減公式,我們可以得到:$$ tan(\alpha+\beta) = \frac{tan\alpha+tan\beta}{1-tan\alpha \cdot tan\beta} $$$$ tan(\alpha-\beta) = \frac{tan\alpha-tan\beta}{1+tan\alpha \cdot tan\beta} $$

若將 $ \alpha $ 和 $ \beta $ 代入相同的值,我們便能得到兩倍角公式:$$ sin(2\theta) = 2\cdot sin\theta \cdot cos\theta $$$$ cos(2\theta) = cos^2\theta - sin^2\theta $$$$ tan(2\theta) = \frac{2 \cdot tan\theta}{1-tan^2\theta} $$

將上述公式代入不同符號並整理,可得半角公式:$$ sin(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1-cos\theta}{2}} $$$$ cos(\frac{\theta}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1+cos\theta}{2}} $$$$ tan(\frac{\theta}{2}) = \pm\frac{sin\theta}{1+cos\theta} $$

最後是 $ sin $ 與 $ cos $ 的加減公式:$$ sin\alpha + sin\beta = 2\cdot sin(\frac{\alpha+\beta}{2})\cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2}) $$$$ sin\alpha - sin\beta = 2\cdot sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) $$$$ cos\alpha + cos\beta = 2\cdot cos(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot cos(\frac{\alpha+\beta}{2}) $$$$ cos\alpha - cos\beta = 2\cdot sin(\frac{\alpha-\beta}{2})\cdot sin(\frac{\alpha+\beta}{2}) $$


幾何上的運用



當我們有一個三角形,邊長與角度如上圖所示時,則面積會等於一半的兩邊乘上夾角的 $ sin $ 值:$$ 面積 =\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot sin(\angle C) $$三邊長與對角的關係呈:$$ \frac{a}{sin\angle A} = \frac{b}{sin\angle B} = \frac{c}{sin\angle C} $$任意一邊長與另外兩邊的關係為:$$ c^2 = a^2 + b^2 - 2\cdot a\cdot b\cdot cos\angle C $$若我們將 $ \angle C $ 以 90度 帶入,則:$$ let \angle C = 90^{\circ} $$$$ \Rightarrow cos\angle C = 0 $$$$ \Rightarrow c^2 = a^2 + b^2 $$即得畢氏定理


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