微積分的介紹與意義

微積分──一個大家既熟悉又陌生的名字。微積分的可以是相當複雜的，但其背後的概念其實相當平易近人。在處理物理問題時，它是非常好用的工具。在這個章節裡，我們會利用大家熟悉的運動學，即為位移、速度與加速度，帶搭家一起認識微積分。

微分

我們都知道，一個以等速行進中的物體速率會等於「位移除以時間」，也就是單位時間內的位移：

$\frac{x_2 - x_1}{t_2 - t_1} = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

其中，$\Delta x$ 代表位移，而 $\Delta t$ 代表所經過的時間。然而，若該行進的物體並非以等速行進，那這個算式在取不同點時計算出的答案就會不同。那麼，我們要如何知道該物體在任一時間點時的速度呢？讓我們回到剛剛的算式：

$v = \frac{\Delta x}{\Delta t}$

讓我們思考一下，如果我們現在想要求得該物體在某個瞬間的速度，也就代表其所經過的時間 $t$ 趨近於 $0$，那麼這個算式不就行不通了嗎？畢竟如果我們將 $\Delta t = 0$ 代入，就會有「除以 0」的問題產生。難道這代表我們永遠無法求得物體的瞬時速度嗎？

其實不然。讓我們由上圖想像一下，不斷地將 $\Delta t$ 縮小，直到 $\Delta t$ 趨近於 $0$。此時再來觀察這個物體，會發現在極短時間內的物體運動可以視為等速運動。同時，我們也解決了「除以 0」的問題，因為我們是除以一個「趨近於 0」的數，就如下圖所示：

利用這個方法，我們就能利用 $v = \Delta x / \Delta t$ 的算式算出某個特定時刻的物體速率：利用極短時間內的位移量除以時間變化量。這個時候，我們就將 $\Delta x / \Delta t$ 記為 $dx / dt$，其中的 $d$ 這個符號稱為導數（derivative）。因此，物體運動時，每個瞬間的速度都可以用這個式子來表示：

$v=\frac{dx}{dt}$

其中，$v$ 是速度，$dx$ 是很短時間內的位移量，$dt$ 則是經過的那段很短的時間。因此我們會說，「速度就是位移對時間的微分」。

上面說了這麼一大堆，目的只是要賦予這個式子物理意義，也是在處理物理問題時能夠列出式子的關鍵。「速度是位移對時間的微分」，意義是極短時間內物體走的一小段位移 $dx$ 除上一小段時間 $dt$，而在數學上這樣的定義其實就是大家所熟悉的切線斜率。

積分

我們現在已經知道物體運動的速率：

$v=\frac{dx}{dt}$

經過移項之後可以得到：

$dx=v \cdot dt$

接著，讓我們回想一下，$dx$ 表示的是很小的一段位移，而 $dt$ 表示的是很小的一段時間。 也就是說，在極短時間的時間之內，物體前進的距離 $dx$ 會等於速度 $v$ 乘上 $dt$。咦？這不就是等速度運動的公式 $\Delta x = v \cdot \Delta t$ 嗎？或許你會想問：如果物體不是以等速度前進，那這個式子不就不能套用了嗎？

其實不然。在上面在微分的部分我們已經提到過，如果將時間縮減的極短，那麼就算是變速度運動的物體，速度的改變量會因為太小而可以忽略，因此可以將物體視為等速度運動。

那如果要求的不是極短時間行進的距離呢？為了解決這個問題，我們的想法是分別求每一段極小的時間 $dt$ 內所行進的距離 $dx$，最後再將它加起來，就能得到總行進的距離了，如圖所示：

然而，由於 $dt$ 極小，要加總的數量非常多，處理起來相當麻煩。因此，我們能夠運用積分來解決以上的問題。讓我們重新寫下剛才的式子：

$dx = v\cdot dt$

接著，同時在式子兩側加上積分符號 $\int$：

$\int_{x_1}^{x_2} dx=\int_{t_1}^{t_2} v \cdot dt$

在積分符號上下的 $x_1$ 與 $x_2$ 代表的是積分的上下限，也就是指從 $x_1$ 到 $x_2$ 的範圍進行積分。等式右邊的 $t_1$ 與 $t_2$ 也是同樣的概念。這裡要注意的是，$x_1$ 與 $t_1$ 必須是代表同一個狀態下的參數，也就是說，當位置為對時間的函數為 $x(t)$ 時，必須滿足 $x_1=x(t_1)$，而 $x_2$ 與 $t_2$ 也是同理。

由上述可知，位移是速度對時間的積分，亦即，一個物體的位移，會等於將其每一小段時間 $dt$ 中行進的距離 $dx$ 的總和。在數學上，其實我們所求的，就是大家所熟悉的函數曲線下面積。